REPASO DEALGEBRA Y ARICMETICA ELEMENTAL

I.                  REGLAS BÁSICAS PARA LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

 Para llevar a cabo las operaciones aritméticas básicas, es necesario seguir unas reglas y una metodología apropiada. En esta sección cada regla se presenta con un ejemplo numérico.

1.     Propiedad conmutativa de la suma

           a + b = c        →     b + a = c

           3 + 5 = 8        →    5 + 3 = 8

2. Propiedad asociativa de la suma

          a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

          5 + ( 3 + 4 ) = ( 5 + 3 ) + 4

          5 + ( 7 )       = ( 8 ) + 4

                     12     ≡   12

3. No conmutatividad de la resta

          a – b = c   →    b – a ≠ c

          9 – 5 = 4  ≠   5 – 9 = - 4

                      4  ≠  - 4

4. Propiedad conmutativa del producto

          a × b = c    →     b × a = c

          4 × 5 = 20    →  5 × 4 = 20

5. Distributiva del producto con relación a la suma

         a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

         4 × ( 6 + 3 ) = ( 4 × 6 ) + ( 4 × 3 )

                     36    =   36

6. Regla para el cociente de dos expresiones

         a ÷ b ≠ b ÷ a    →    12 ÷ 3 ≠  3 ÷ 12

7.  Suma de fracciones con igual denominadores

         ( a + b ) / c = a / c +  b / c

         ( 8 + 4 ) / 2 = 8 / 2 + 4 / 2 = 6

8.     Fracción con una suma o resta en el denominador

             a / ( b + c )   ≠  a / b + a / c

             6 / ( 2 + 1 )  ≠   6 / 2 + 6 / 1  →   2  ≠  9

9.      Suma de fracciones con distintos denominadores

             1 / a + 1 / b =  ( b + a ) / a.b

             3 / 4 + 2 / 5 = ( 3 × 5  + 2 × 4 ) / 20 = 23 / 20

10.                       Producto de fracciones

             a / b  ×  c / d = ( a × c) / ( b × d )

             2 / 3  ×  6 / 7 =  (  2 × 6 ) / ( 3 × 7 ) = 12 / 21

11.                       Cociente (división) de fracciones

          ( a / b ) ÷ ( c / d ) =  ( a / b ) ( d / c) =  a . d /  b. c

          ( 3 / 5 ) ÷ ( 7 / 2 ) =  ( 3 / 5 ) ( 2 / 7 ) = 3 . 2 / 5. 7

    

II.               REGLAS DEL ALGEBRA: EXPONENTES Y RADICALES

A continuación un resumen de algunas de las reglas básicas que deben observarse al trabajar con raíces o radicales.

1.  X^a . X^b = X^a+b            5² . 5³ = 5²⁺³  =  5⁵

2.  X^a /  X^b = X^a-b            4⁶ /  4² = 4^6-2 =  4⁴

3.  ( X^a )^b = X^ab                ( 7² )³ = 7^2.3 = 7⁶

4.     X^a / X^a = X⁰ = 1

5.     √ X.Y = √X  . √Y       ( √ símbolo que representa raíz cuadrada de )

                     √ 9 . 4 =  √9  . √4 = 3 . 2 = 6

6.     √ X / Y = √X / √Y

     √ 25 / 49 = √25 / √49 = 5 / 7

      

  

V- Ecuación Lineal

      Durante el análisis estadístico es frecuente la solución de operaciones matemáticas que enfatizan las ecuaciones. Por lo tanto, conviene un breve repaso de las reglas más sencillas utilizadas en la solución de las ecuaciones.

Expresión Algebraica. Es cualquier símbolo o combinación de símbolos ( a, bx, c, tw, etc.) que representan números. Por ejemplo,

               3 ax   es una expresión algebraica

               3 ax + 2 xy – 3 z   es una expresión algebraica   

                                              donde cada grupo de

                                              símbolos es un término. 

Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.  Ejs.  3 ax ,  - 4 x² y  ,  abc

Binomio. Es una expresión algebraica que consta de dos términos.  Ejs.  3 ax – 3 yz ;   5 xy² z + 4 ac

Trinomio. Es una expresión algebraica que consta de tres términos. Ej.  2 wt + 5 xy – 3 z

En general, una expresión algebraica que consta de dos o más términos se llama un polinomio.

Tenga en cuenta que cada término de un polinomio consta de una parte numérica con su signo (coeficiente numérico) y una parte literal o de letras con sus exponentes.

Ecuación. Una ecuación se define como la igualdad entre dos expresiones algebraicas.

                          3 x + 4 = 10  

Cada lado de la ecuación se denomina miembro. La variable cuyo valor se determinará al solucionar la ecuación se denomina incógnita.

La solución de una ecuación o raíz, es el valor de la variable que satisface esa ecuación. O sea, el valor de la variable para el cual ambos miembros son iguales.

El exponente de la incógnita en una ecuación me indica el grado de esa ecuación. Así, en la ecuación anterior el exponente de la variable  x  es 1 y por lo tanto la ecuación es de primer grado.

Las ecuaciones pueden clasificarse en condicionales o en identidades.

Una ecuación condicional es aquella para la cual un solo valor de la variable satisface la ecuación. Por su parte, en una identidad existe un número infinito de valores que satisfacen la ecuación.

Ej.        3 x – 4 = 8  →   3 x = 8 + 4  →  3 x = 12  →  x = 4

             x = 4  es el único valor que satisface la ecuación.

             por lo tanto, es una ecuación condicional.

             2 x + 3 x = 5 x   es una identidad, porque hay un           número infinito de valores que hacen válida esa ecuación.  Por ejemplo, 1, 2, 3, ….., 10, …

Propiedades básicas para la solución de una ecuación.

1.        Si en ambos miembros de una ecuación sumamos o restamos la misma cantidad, el resultado no se altera.  Ej.

5 x + 2 = 8 x – 19   ( sumemos en ambos lados

                                              - 5 x  y  +19)

 5 x – 5 x + 19 + 2 = 8 x – 5x – 19 + 19   → 21 =  3 x

                                 

    2.  Si ambos miembros de la ecuación se multiplican o                     

           se dividen por la misma cantidad, el resultado no se

        altera.

        En ej. Anterior:  21 = 3 x   ( ÷ ambos miembros/ 3 )

                                    21/3 = 3 x / 3 →  7 = x

        Verificación.     5 ( 3 ) + 2 = 8 ( 3 ) – 19

                                           15 + 2 = 24 – 19    →   17  ≡ 17

Ej.  Dada la ecuación siguiente, resolver para “ x”  y verificar la solución.

                          9 / ( x + 4 ) = 5 / ( x – 8 )

                9 ( x – 8 )/ ( x + 4 ) = 5 ( x – 8 )/ ( x – 8 ) multiplicando ambos

                                                                                  miembros por ( x – 8 )

                9 ( x – 8 )/ ( x + 4 ) =  5      ( multiplicamos ahora ambos

                                                              miembros por ( x + 4 )

                9 ( x – 8 ) = 5 ( x + 4 )

                9 x – 72 = 5 x + 20            [sumamos (-5x) en ambos miembros]

               9 x – 5 x – 72 = 5 x – 5 x + 20

                   4 x – 72 = 20             [ sumamos (+72) en ambos miembros]

                   4 x = 72 + 20   →   4 x = 92  ( dividir entre 4 ambos miembros )

                      x = 92 / 4 →  x = 23

       Verificación:   9 / ( 23 + 4 ) = 5 / ( 23 – 8 )

                               9 / ( 27 ) = 5 / 15  →   1 / 3 = 1 / 3      QED                                   

  

VI- Razones y Porcientos.

       Una razón es la relación entre dos cantidades. O sea, es la comparación en términos relativos de esas cantidades.

Ej.  El número de estudiantes en un colegio es 5,000. De esos, 1,000 son

      niñas y 4,000 son niños.

                                            razón = 1,000 / 4,000 = 1 / 4

                                            hay 1 niña por cada 4 niños

Porciento (%) Cuando la razón se multiplica por 100 se convierte en una forma especial que se denomina porciento ( % símbolo)

En el ejemplo anterior: ( 1 / 4 ) × 100 % =  ( .25 ) × 100 % =  25 %

Operaciones Básicas con los porcientos.

1.     Para convertir un porciento (%) a número entero o a decimal, divida entre 100 y elimine el símbolo de porciento. O sea, mueva el punto decimal dos lugares hacía la izquierda y elimine el símbolo de %.

Ejs.       100 %    a entero →  100/100 = 1

             74.5 %   a decimal → 74.5 / 100 = .745

             2.35 %   a decimal → 2.35 / 100 = .0235

            425 %     a entero  →  425 / 100 = 4.25

2.     Para convertir un número entero o un decimal a %, multiplique por

100 y añada el símbolo de %.

     Ejs.       45  a porciento → 45 × 100 % = 4,500 %

2.6  a porciento  → 2.6  × 100 % =  260 %

.56 a porciento   → .56  × 100 % =  56 %

.038 a porciento → .038  × 100 % =  3.8 %

3.     Convertir una fracción común a porciento.

Primero se convierte la fracción común a decimal y luego se convierte el decimal a porciento.

Ejs.     3 / 5  →  3 / 5 = .60

           .60 × 100 %  = 60 %

           6 / 25   →  6 /2 5 = .24

           .24 × 100 %  = 24 %

NOTA FINAL. ESTOS APUNTES DE ARITMETICA Y ALGEBRA BASICA NO PRETENDEN SUSTITUIR SU CONOCIMIENTO EN ESOS TEMAS. POR LO TANTO, USTEDES DEBEN PROFUNDIZAR EN CADA UNO DE LOS TEMAS UTILIZANDO REFERENCIAS ADICIONALES DE CUALQUIER LIBRO DE ARITMETICA BASICA