PRODUCTOS NOTABLES

Son multiplicaciones especiales que resultan de generalizar algunos productos.Los productos notables permiten encontrar un resultado de manera mas practica sin tener que desarrollar siempre las multiplicaciones o potencias indicadas.
CUADRADO DE LA SUMA DE LOS TERMINOS :
En general,el cuadrado de la suma de dos terminos al
cuadrado del primer termino mas dos veces el primero por el segundo mas elñ cuadrado del segundo termino.

divisiones algebraicas

Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:

D = d · C

Donde:             D es el Dividendo (producto de  los factores “d” y “C”)
                        d es el divisor (factor conocido)
                        C es el cociente (factor desconocido)

Los factores “D”, “d” y “C” pueden ser números, monomios o polinomios.

Leyes que sigue la división:

Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.

(+) ÷ (+) = +
(-) ÷ (-) = +
(+) ÷ (-) = -
(-) ÷ (+) = -

Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
                                   mx ÷ nxy = (m ÷ n)(x ÷ xy)

Donde m y n son números y n es distinto de cero


Ley de exponentes: la división  de dos o más potencias de la misma base es igual a la   base elevada a la diferencia de las potencias.

Nota: resulta útil y cómodo colocar la división como una expresión fraccionaria así:

División de monomios

Es la división de un monomio entre otro, en fracción se trabaja como reducción de múltiplos iguales.
Pasos a seguir:

• Se aplica ley de signos

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

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multiplicacion de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa

algebra

multiplicacion de polinomios :

Para multiplicar dos polinomios:

• multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio
• suma las respuestas, y simplifica si hace falta

Veamos primero los casos más simples

1 término × 1 término   (monomio por monomio)

Para multiplicar un término por otro, primero multiplica las constantes, después multiplica cada variable y combina el resultado, así (pulsa el botón):

(Nota: he usado "·" para indicar la multiplicación. En álgebra no nos gusta usar "×" porque se parece mucho a la letra "x")

Para saber más sobre multiplicar términos, lee multiplicar y dividir variables con exponentes

1 término × 2 términos   (monomio por binomio)

Multiplica el término que está solo por los otros dos términos, así:

2 términos × 1 término   (binomio por monomio)

Multiplica cada uno de los dos términos por el que está solo, así:

(Hice este un poco más rápido porque multipliqué de cabeza antes de escribir)

algebra

PASO A PASO PARA REALIZAR EJERCICIOS DE ALGEBRA :

I- Conjunto de números

II- Operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

                a).- Suma de expresiones algebraicas.

                b).- Resta de expresiones algebraicas.

                c).- Multiplicación de expresiones algebraicas.

III- Ecuación de Primer grado con una incógnita

Conjunto de números

Si observamos veremos que los Número Naturales están contenidos en los números enteros, esto se representa matemáticamente como lN ⊂ Z

Cada número entero   a   puede representarse como a/1, por lo tanto los números entero (Z) están contenidos en los racionales:   Z ⊂ Q y a la vez los números enteros estan en los números naturales por lo que: IN ⊂ Z ⊂ Q

Cada número racional también tiene representación decimal, pero existen expresiones decimales que no representan a números racionales.   Por lo tanto:   Q ⊂ R y de acuerdo a lo ya visto   IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

  Es decir, cada número real es racional o es irracional, pero no ambas afirmaciones a la vez.
Por lo tanto:   Q [pic] I = ∅, la intersección entre los irracionales y racionales es un conjunto distinto de vacio. Ejemplo:
Por otro lado   Q   [pic] I = lR
Podemos integrar realizando el siguiente esquema

1 Operación o ley de composición

      En matemática una operación es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no. Así por ejemplo si tenemos una operación de suma entre números enteros tendremos como resultado un numero entero:   3 + 6 + (-5) = 4
      Pero se puede dar que al dividir número enteros el resultado no de un entero:
      5 : (-2) = - 2,5

Suma Algebraica

REPASO DEALGEBRA Y ARICMETICA ELEMENTAL

I.                  REGLAS BÁSICAS PARA LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS

 Para llevar a cabo las operaciones aritméticas básicas, es necesario seguir unas reglas y una metodología apropiada. En esta sección cada regla se presenta con un ejemplo numérico.

1.     Propiedad conmutativa de la suma

           a + b = c        →     b + a = c

           3 + 5 = 8        →    5 + 3 = 8

2. Propiedad asociativa de la suma

          a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

          5 + ( 3 + 4 ) = ( 5 + 3 ) + 4

          5 + ( 7 )       = ( 8 ) + 4

                     12     ≡   12

3. No conmutatividad de la resta

          a – b = c   →    b – a ≠ c

          9 – 5 = 4  ≠   5 – 9 = - 4

                      4  ≠  - 4

4. Propiedad conmutativa del producto

          a × b = c    →     b × a = c

          4 × 5 = 20    →  5 × 4 = 20

5. Distributiva del producto con relación a la suma

         a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

         4 × ( 6 + 3 ) = ( 4 × 6 ) + ( 4 × 3 )

                     36    =   36

6. Regla para el cociente de dos expresiones

         a ÷ b ≠ b ÷ a    →    12 ÷ 3 ≠  3 ÷ 12

7.  Suma de fracciones con igual denominadores

         ( a + b ) / c = a / c +  b / c

         ( 8 + 4 ) / 2 = 8 / 2 + 4 / 2 = 6

8.     Fracción con una suma o resta en el denominador

             a / ( b + c )   ≠  a / b + a / c

             6 / ( 2 + 1 )  ≠   6 / 2 + 6 / 1  →   2  ≠  9

9.      Suma de fracciones con distintos denominadores

             1 / a + 1 / b =  ( b + a ) / a.b

             3 / 4 + 2 / 5 = ( 3 × 5  + 2 × 4 ) / 20 = 23 / 20

10.                       Producto de fracciones

             a / b  ×  c / d = ( a × c) / ( b × d )

             2 / 3  ×  6 / 7 =  (  2 × 6 ) / ( 3 × 7 ) = 12 / 21

11.                       Cociente (división) de fracciones

          ( a / b ) ÷ ( c / d ) =  ( a / b ) ( d / c) =  a . d /  b. c

          ( 3 / 5 ) ÷ ( 7 / 2 ) =  ( 3 / 5 ) ( 2 / 7 ) = 3 . 2 / 5. 7

    

II.               REGLAS DEL ALGEBRA: EXPONENTES Y RADICALES

A continuación un resumen de algunas de las reglas básicas que deben observarse al trabajar con raíces o radicales.

1.  X^a . X^b = X^a+b            5² . 5³ = 5²⁺³  =  5⁵

2.  X^a /  X^b = X^a-b            4⁶ /  4² = 4^6-2 =  4⁴

3.  ( X^a )^b = X^ab                ( 7² )³ = 7^2.3 = 7⁶

4.     X^a / X^a = X⁰ = 1

5.     √ X.Y = √X  . √Y       ( √ símbolo que representa raíz cuadrada de )

                     √ 9 . 4 =  √9  . √4 = 3 . 2 = 6

6.     √ X / Y = √X / √Y

     √ 25 / 49 = √25 / √49 = 5 / 7

      

  

V- Ecuación Lineal

      Durante el análisis estadístico es frecuente la solución de operaciones matemáticas que enfatizan las ecuaciones. Por lo tanto, conviene un breve repaso de las reglas más sencillas utilizadas en la solución de las ecuaciones.

Expresión Algebraica. Es cualquier símbolo o combinación de símbolos ( a, bx, c, tw, etc.) que representan números. Por ejemplo,

               3 ax   es una expresión algebraica

               3 ax + 2 xy – 3 z   es una expresión algebraica   

                                              donde cada grupo de

                                              símbolos es un término. 

Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.  Ejs.  3 ax ,  - 4 x² y  ,  abc

Binomio. Es una expresión algebraica que consta de dos términos.  Ejs.  3 ax – 3 yz ;   5 xy² z + 4 ac

Trinomio. Es una expresión algebraica que consta de tres términos. Ej.  2 wt + 5 xy – 3 z

En general, una expresión algebraica que consta de dos o más términos se llama un polinomio.

Tenga en cuenta que cada término de un polinomio consta de una parte numérica con su signo (coeficiente numérico) y una parte literal o de letras con sus exponentes.

Ecuación. Una ecuación se define como la igualdad entre dos expresiones algebraicas.

                          3 x + 4 = 10  

Cada lado de la ecuación se denomina miembro. La variable cuyo valor se determinará al solucionar la ecuación se denomina incógnita.

La solución de una ecuación o raíz, es el valor de la variable que satisface esa ecuación. O sea, el valor de la variable para el cual ambos miembros son iguales.

El exponente de la incógnita en una ecuación me indica el grado de esa ecuación. Así, en la ecuación anterior el exponente de la variable  x  es 1 y por lo tanto la ecuación es de primer grado.

Las ecuaciones pueden clasificarse en condicionales o en identidades.

Una ecuación condicional es aquella para la cual un solo valor de la variable satisface la ecuación. Por su parte, en una identidad existe un número infinito de valores que satisfacen la ecuación.

Ej.        3 x – 4 = 8  →   3 x = 8 + 4  →  3 x = 12  →  x = 4

             x = 4  es el único valor que satisface la ecuación.

             por lo tanto, es una ecuación condicional.

             2 x + 3 x = 5 x   es una identidad, porque hay un           número infinito de valores que hacen válida esa ecuación.  Por ejemplo, 1, 2, 3, ….., 10, …

Propiedades básicas para la solución de una ecuación.

1.        Si en ambos miembros de una ecuación sumamos o restamos la misma cantidad, el resultado no se altera.  Ej.

5 x + 2 = 8 x – 19   ( sumemos en ambos lados

                                              - 5 x  y  +19)

 5 x – 5 x + 19 + 2 = 8 x – 5x – 19 + 19   → 21 =  3 x

                                 

    2.  Si ambos miembros de la ecuación se multiplican o                     

           se dividen por la misma cantidad, el resultado no se

        altera.

        En ej. Anterior:  21 = 3 x   ( ÷ ambos miembros/ 3 )

                                    21/3 = 3 x / 3 →  7 = x

        Verificación.     5 ( 3 ) + 2 = 8 ( 3 ) – 19

                                           15 + 2 = 24 – 19    →   17  ≡ 17

Ej.  Dada la ecuación siguiente, resolver para “ x”  y verificar la solución.

                          9 / ( x + 4 ) = 5 / ( x – 8 )

                9 ( x – 8 )/ ( x + 4 ) = 5 ( x – 8 )/ ( x – 8 ) multiplicando ambos

                                                                                  miembros por ( x – 8 )

                9 ( x – 8 )/ ( x + 4 ) =  5      ( multiplicamos ahora ambos

                                                              miembros por ( x + 4 )

                9 ( x – 8 ) = 5 ( x + 4 )

                9 x – 72 = 5 x + 20            [sumamos (-5x) en ambos miembros]

               9 x – 5 x – 72 = 5 x – 5 x + 20

                   4 x – 72 = 20             [ sumamos (+72) en ambos miembros]

                   4 x = 72 + 20   →   4 x = 92  ( dividir entre 4 ambos miembros )

                      x = 92 / 4 →  x = 23

       Verificación:   9 / ( 23 + 4 ) = 5 / ( 23 – 8 )

                               9 / ( 27 ) = 5 / 15  →   1 / 3 = 1 / 3      QED                                   

  

VI- Razones y Porcientos.

       Una razón es la relación entre dos cantidades. O sea, es la comparación en términos relativos de esas cantidades.

Ej.  El número de estudiantes en un colegio es 5,000. De esos, 1,000 son

      niñas y 4,000 son niños.

                                            razón = 1,000 / 4,000 = 1 / 4

                                            hay 1 niña por cada 4 niños

Porciento (%) Cuando la razón se multiplica por 100 se convierte en una forma especial que se denomina porciento ( % símbolo)

En el ejemplo anterior: ( 1 / 4 ) × 100 % =  ( .25 ) × 100 % =  25 %

Operaciones Básicas con los porcientos.

1.     Para convertir un porciento (%) a número entero o a decimal, divida entre 100 y elimine el símbolo de porciento. O sea, mueva el punto decimal dos lugares hacía la izquierda y elimine el símbolo de %.

Ejs.       100 %    a entero →  100/100 = 1

             74.5 %   a decimal → 74.5 / 100 = .745

             2.35 %   a decimal → 2.35 / 100 = .0235

            425 %     a entero  →  425 / 100 = 4.25

2.     Para convertir un número entero o un decimal a %, multiplique por

100 y añada el símbolo de %.

     Ejs.       45  a porciento → 45 × 100 % = 4,500 %

2.6  a porciento  → 2.6  × 100 % =  260 %

.56 a porciento   → .56  × 100 % =  56 %

.038 a porciento → .038  × 100 % =  3.8 %

3.     Convertir una fracción común a porciento.

Primero se convierte la fracción común a decimal y luego se convierte el decimal a porciento.

Ejs.     3 / 5  →  3 / 5 = .60

           .60 × 100 %  = 60 %

           6 / 25   →  6 /2 5 = .24

           .24 × 100 %  = 24 %

NOTA FINAL. ESTOS APUNTES DE ARITMETICA Y ALGEBRA BASICA NO PRETENDEN SUSTITUIR SU CONOCIMIENTO EN ESOS TEMAS. POR LO TANTO, USTEDES DEBEN PROFUNDIZAR EN CADA UNO DE LOS TEMAS UTILIZANDO REFERENCIAS ADICIONALES DE CUALQUIER LIBRO DE ARITMETICA BASICA